模态分析用于确定整体结构的振动特性，即结构的固有频率和振型等，它们是结构承受动载荷设计中的重要参数。结构的动力平衡方程为

式中：M为总体质量矩阵（kg）；C为总体阻尼矩阵（N·s/m）；K为总体刚度矩阵（N/m）；u为节点位移（m）；F为结构所受随时间变化的外载荷（N）。

当不考虑阻尼，结构做自由振动时，式（1）可表示为：

在有限元软件的模态分析求解中，假设结构是线性的，即具有恒定的总体质量矩阵和总体刚度矩阵。式（2）的通解可表示为：

将式（3）带入式（2），消去时间变量，得：

因结构做自由振动，振幅不为0，所以：

求解式（5），可解得n个方程的根（自振频率）：

每个方程的根，都对应着一个特征向量：

对于单自由度体系，若考虑有阻尼的自由振动，则结构的自振频率为：

式中：ξ为结构的阻尼比。一般结构的阻尼比是一个小数，ω_r和ω的值很接近，阻尼对自振频率的影响不大，可以忽略^［10］。

人工边界可分为局部人工边界和全局人工边界，局部人工边界具有时空解耦的特性和较广的适用性，计算消耗时间少，在有限元方法中运用广泛^［11］。本文采用局部人工边界中的粘弹性人工边界进行建模计算。粘弹性人工边界能模拟无限介质的弹性恢复性能，具有良好的频率稳定性，能满足工程精度的需求^［12］。根据球坐标系内球面波动方程的推导，粘弹性人工边界可以等效为图1所示连续分布的并联弹簧-阻尼器系统^［13］。

图  1  粘弹性人工边界等效弹簧-阻尼系统

Figure 1.  Viscoelastic artificial boundary equivalent spring-damping system

图1中的法向与切向弹簧刚度和阻尼系数分别为：

式中：K_BN、K_BT分别为弹簧法向刚度和切向刚度（N/m）；C_BN、C_BT分别为阻尼器的法向阻尼系数和切向阻尼系数（N·s/m）；R为波源到人工边界点的距离（m）；G为介质剪切模量（Pa）；ρ为介质密度（kg/m³）；c_p和c_s分别为介质的压缩波速和剪切波速（m/s）。压缩波速c_p和剪切波速c_s分别为：

式中：E为介质弹性模量（Pa）；v为介质泊松比。

结构与土的耦合作用实际上是一种高度非线性的筒土接触问题，随着接触状态的改变，接触表面的法向刚度和切向刚度都发生着显著的变化^［14］。对于求解实体表面的非线性接触问题，较常用的是罚函数法。

罚函数法的基本思想是将约束问题转为无约束最优化问题，将接触非线性问题转化为材料非线性问题。在弹性接触中，罚函数法将接触区域的非嵌入约束作为惩罚项引入接触系统的总势能，使条件约束变成惩罚优化问题^［15］。接触系统状态可由系统平衡方程、几何边界条件和接触边界上的非嵌入条件唯一确定。前两项在有限元中容易处理，对于非嵌入条件，可先假定接触区域，通过连续性条件和接触约束条件来迭代求解^［16］。接触约束条件为：

式中：g为接触边界非嵌入条件（接触面间隙）（m）；u^A和u^B分别为接触面两侧法向位移（m）；g_N为接触面间初始间隙（m）；p_N为接触面法向应力（Pa）。

由最小势能原理知，在满足初始约束的可能位移中，真实位移满足式（13），且系统总势能取最小值。通过罚函数法将约束条件引入能量泛函，并在约束边界上构造一个惩罚势能：

式中：r为惩罚因子（N/m）；g（u）为障碍函数（m²）；S_C为约束边界。将接触问题转化为无约束优化问题：

式中：П^*为包含惩罚项的系统能量泛函（J）；П为系统在无约束条件下的总势能（J）；П_p为在边界上不满足约束条件时产生的附加势能（J）。

本文基于某单机额定容量5.5 MW海上风电项目，根据工程数据对土体、吸力筒导管架基础、塔筒和风机进行建模。该海域水深27.69 m，吸力筒高度、直径和厚度分别为10.6 m、13 m和0.045 m，导管架高度51.63 m，基础重量1 550 t，风机机舱重量243 t，轮毂重量92 t，叶片重量3×35 t，叶轮直径158 m，轮毂高度105.7 m，风机转速范围为4.3~13.44 rpm，塔筒和各层土体参数见表1和表2。导管架与塔筒通过过渡段连接，塔筒分成4段，表1尺寸参数中的第1、2、3项分别为该段塔筒的下端直径、上端直径和长度。为降低选取土体尺寸对结果的影响并平衡计算量，地基截取200 m×200 m× 38 m的长方体模型。

建好几何模型后，采用扫掠划分方法对结构和土体进行网格划分，定义接触和粘弹性边界。整机有限元模型和筒土相对位置示意图如图2所示。本文土体基于Drucker-Prager本构模型，采用SOLID45实体单元模拟；吸力筒和塔筒采用SHELL181壳单元模拟；加强筋采用BEAM189梁单元模拟；导管架结构采用PIPE59管单元模拟；机舱和轮毂简化为仅考虑质量和转动惯量的中空圆柱体，采用PIPE16管单元模拟；叶片根部截面为圆形，沿叶片长度方向逐渐变化为不规则的椭圆界面。由于叶片的长度远大于宽度，根据刚度等效原则，可以将不规则叶片转化为规则形状^［17］。本文采用BEAM188中空矩形变截面梁单元模拟叶片，赋予叶片正交各向异性材料属性，并耦合叶片根部节点和轮毂节点的自由度。

图  2  整机有限元模型及筒土相对位置示意图

Figure 2.  The finite element model of the whole structure and schematic diagram of the relative position of the bucket and soil

筒土接触区域包括筒体内壁与筒内土体、筒体外壁与筒外土体、盖板内壁与筒内土体。在接触区域定义接触对，将刚度较大的吸力筒界面定义为“目标面（TARGET）”，刚度较小的土体界面定义为“接触面（CONTACT）”。接触面的初始容许穿透容差，指定了接触面的初始穿透范围。通过迭代调整，确定最大初始容许穿透容差为0.15，可以将整个目标面移动到指定的初始穿透范围，使其成为闭合接触的初始状态。基于工程地勘资料及结合文献^［18-19］，综合考虑土体湿度、可塑性、密实度和埋深的影响，筒与淤泥质土的摩擦系数取0.2，筒与粗砂的摩擦系数取0.36。

基于刘晶波^［20］的研究，用并联的COMBIN14弹簧-阻尼单元可以很好地等效粘弹性人工边界。根据图1，在边界节点处法向和两个切向定义弹簧-阻尼器单元，单元的一端与边界节点耦合，另一端刚性固定。弹簧-阻尼器单元的参数取式（8）、（9）的计算结果与单元等效面积的乘积。一般而言，波源可放置在吸力筒与海床交界面的形心。波源到不同人工边界点的距离R不是定值，为简化建模工作量，波源到截取土体侧面人工边界点等效长度取150 m、到截取土体底面人工边界点等效长度取100 m。通过ANSYS APDL命令流编程，将弹簧-阻尼器单元施加到截取土体四个侧面和底面的所有节点上。

整机固有频率应避开风机激励频率的1P频率和3P频率，以免发生共振作用。粘弹性边界下的整机前6阶固有频率和模态振型如表3和图3所示：

图  3  整机前6阶模态振型

Figure 3.  The first 6-order natural frequency of the whole structure

图  3  整机前6阶模态振型

Figure 3.  The first 6-order natural frequency of the whole structure

图  3  整机前6阶模态振型

Figure 3.  The first 6-order natural frequency of the whole structure

图  3  整机前6阶模态振型

Figure 3.  The first 6-order natural frequency of the whole structure

图  3  整机前6阶模态振型

Figure 3.  The first 6-order natural frequency of the whole structure

图  3  整机前6阶模态振型

Figure 3.  The first 6-order natural frequency of the whole structure

由图3可知，前2阶振型为一阶弯曲振动，第3阶振型为轴向振动，第4、5阶振型为二阶弯曲振动，第6阶振型为扭转振动。

将风机的转速转换成叶轮激励频率，可得到1P频率范围为0.072~0.224 Hz，3P频率范围为0.215 ~0.672 Hz。考虑到海上风电结构在生命周期中存在的不确定性，整机固有频率与风机叶轮的激励频率之间应留有一定的安全裕量。当考虑±10%的安全裕量时，1P频率范围为0.065~0.246 Hz，3P频率范围为0.194~0.739 Hz。由于风机的转速范围较大，叶轮激励频率的1P频率和3P频率存在重叠区间。这种情况下，为了避免因共振引起的结构破坏及疲劳损伤，可通过变桨变速控制策略，使风机转速快速通过与整机固有频率相对应的叶轮激励频率。由整机固有频率及叶轮激励频率的1P频率和3P频率区间可知，当风机低速运转时，整机前2阶固有频率存在与3P频率发生共振的可能。为避免发生共振，当考虑10%的安全裕量时，应尽量保证叶轮转速大于5.94 rpm。

由于波源到人工边界点的距离R不是定值，不同边界节点上的弹簧刚度无法统一精确确定，所以有必要对粘弹性边界的弹簧刚度的取值进行敏感性分析。根据上章相关数据，求得弹簧刚度k，分别计算粘弹性边界的弹簧刚度为k的0.1倍、0.2倍、0.5倍、1倍、2倍、5倍、10倍时整机的1~6阶自振频率，结果如图4所示。由图4可看出，弹簧刚度越大，固有频率越高。第1、2、4、5阶模态振型为弯曲振动，改变弹簧刚度对其固有频率影响不大；第3、6阶模态振型为轴向振动和扭转振动，改变弹簧刚度对其固有频率的影响比较显著。这说明粘弹性边界上弹簧刚度对结构弯曲刚度的影响较小，对轴向刚度和扭转刚度的影响较大。弹簧刚度取k与0.5 k时前2阶自振频率相差不超过0.8%、取k与2 k时相差不超过0.6%；第3阶模态振型为轴向振动，弹簧刚度取0.5 k或2 k时，第3阶自振频率与取k时分别相差8.5%和7.6%；第4、5阶差别收小；当弹簧刚度取大于或等于0.5 k时，第6阶模态自振频率相差甚微。由弹簧刚度的计算公式可知，由于波源到人工边界点的距离R导致的弹簧刚度的取值误差小于100%，所以因弹簧刚度取值误差导致的前2阶自振误差不大于0.8%，第3阶误差不大于8.5%。当第3阶自振频率与3P激励频率接近时，应更仔细地考虑波源到人工边界点距离的取值，以在不同的边界节点取得更加精确的弹簧刚度值，减少计算误差。

图  4  边界上不同弹簧刚度的整机固有频率

Figure 4.  The natural frequency of the whole structure with different spring stiffness on the boundary

土的弹性模量是土抵抗弹性变形的能力，压缩模量是土在完全侧限条件下竖向附加应力与竖向应变的比值。岩土勘察报告往往只提供土体压缩模量，而数值分析所需要的弹性模量不容易从报告中获得。贾堤等^［21］提出了利用岩土工程勘察报告估算土体弹性模量的三种方法，然而，利用不同方法估算弹性模量的最大估算误差超过了100%。本文根据当地工程经验，土体弹性模量E取3.5倍的压缩模量进行计算。

为分析弹性模量取值对自振频率的敏感性，分别计算弹性模量取E的0.2倍、0.5倍、1倍、2倍、5倍时整机的1~6阶固有频率，结果如图5所示。由图可看出，弹性模量越大，自振频率越高；弹性模量取值对自振频率的影响比较显著，弹性模量取E与0.5E时前第3阶自振频率分别相差8.2%、8.5%和11.7%，取E与2E时前3阶自振频率分别相差5.3%、6.1%和10.1%。弹性模量取值的误差会对自振频率产生较大的影响，因此，在根据岩土工程勘察报告估算土体弹性模量时，应综合参考多种估算方法和工程经验进行取值，以便得到一个比较准确的结果。

图  5  不同弹性模量的整机固有频率

Figure 5.  The natural frequency of the whole structure with different elastic modulus

为了探索筒土间摩擦系数对整机固有频率的影响，分别计算筒土间摩擦系数μ为0.1、0.2、0.3、0.4和0.5时的1~6阶整机固有频率，结果如图6所示。由图6可知，随着筒土摩擦系数增大，整机固有频率略有提高，摩擦系数对自振频率的影响相对较小。当筒土摩擦系数由0.1提高到0.5时，前5阶固有频率变化不超过3%，第6阶模态变化6.4%。这说明改变摩擦系数对结构扭转刚度的影响大于对弯曲刚度和轴向刚度的影响。

图  6  不同筒土摩擦系数的整机固有频率

Figure 6.  The natural frequency of the whole structure with different coefficients of friction between the bucket and soil

在传统的海上风电基础动力特性的研究中，边界条件有地基边界固定、假想嵌固点、刚性地基和粘弹性边界等。地基边界固定是考虑筒土相互作用，在截取的地基边界上施加刚性约束；假想嵌固点法认为可将一定深度以下的桩视为固定端约束，常用于水工结构^［22］，本文将吸力筒下端的4个节点进行嵌固约束；刚性地基常用于传统的抗震设计，本文通过取无穷大的地基弹性模量来模拟刚性地基；粘弹性边界在上文已有介绍。四种边界条件的示意图如图7所示。

图  7  四种边界条件的示意图

Figure 7.  Schematic diagram of the four boundary conditions

四种边界约束条件下整机的1~6阶自振频率如图8所示。由图8可知，在四种边界条件中刚性地基约束的整机固有频率远比其他三种边界条件大，进行结构动力特性分析时应避免使用刚性地基，以免造成较大误差。在除了刚性地基外的三种约束中，自振频率由大到小分别是假想嵌固点、地基边界固定和粘弹性边界。地基固定边界和粘弹性边界的前2阶自振频率分别相差3.6%和3.7%，假想嵌固点和粘弹性边界的前2阶自振频率分别相差11.2%和10.6%。由图8可知，粘弹性边界下第4、5阶自振频率几乎一致，而在假想嵌固点和地基边界固定约束下第3、4阶自振频率几乎一致。造成该差异原因是不同的边界条件对轴向刚度影响比较大，当使用假想嵌固点和地基边界固定约束时，轴向振动的自振频率超过了二阶弯曲振动的自振频率，变为了第5阶模态。因此，选用合适的边界条件进行模态分析，对得到正确的结构振动特性十分重要。

图  8  四种边界条件的整机固有频率

Figure 8.  The natural frequency of the whole structure with the four boundary conditions

本文以某吸力筒导管架式海上风电结构为分析对象，通过建立考虑筒土接触的全三维有限元模型，分析了不同边界条件对整机固有频率的影响。结果表明：

1）粘弹性边界下，结构的第1、2阶振型为一阶弯曲振动，第3阶振型为轴向振动，第4、5阶振型为二阶弯曲振动，第6阶振型为扭转振动。

2）风机的1P频率和3P频率存在重叠区间，风机运转时，应通过叶轮转速控制策略，尽量保证叶轮转速大于5.94 rpm。

3）改变弹簧刚度和弹性模量对结构的弯曲刚度影响较小、对轴向刚度和扭转刚度影响较大，改变筒土摩擦系数对扭转刚度影响较大。

4）整机固有频率随着弹簧刚度、地基弹性模量和筒土摩擦系数的增大而增大，并且地基弹性模量对整机固有频率的影响比较显著。在根据地质勘察报告对地基弹性模量进行估值时，应综合参考多种估算方法和工程经验。

5）刚性地基约束下的整机固有频率太大，不适用于振动特性分析。采用地基边界固定和假想嵌固点这两种边界条件会大幅提高结构轴向振动的固有频率，使轴向振动的固有频率超过二阶弯曲振动的固有频率，成为第5阶模态。

项目名称　腐蚀环境下海洋结构物裂纹扩展及疲劳寿命评估理论与试验方法研究

承担单位　华南理工大学

项目概述　基于本单位研发的复杂环境下结构疲劳实验系统重大仪器专项，针对海洋平台等大型结构物在腐蚀环境及随机波浪载荷联合作用下的结构受力与变形、裂纹萌生、扩展的测试、表征以及疲劳寿命评估方法、评价标准进行试验研究。研究试件变形和表面形貌的非接触式无损测试方法、试件疲劳损伤过程的分布式测试方法及环境疲劳性能的表征与评价方法，建立环境随机疲劳方程、相应的疲劳破坏准则以及基于试件变形的简易表征与评价方法。

主要创新点　（1）探究海洋腐蚀环境与交变载荷联合作用下海洋工程平台腐蚀规律和影响因素；（2）探究海洋腐蚀环境与交变载荷联合作用下海洋工程平台关键部位疲劳裂纹扩展速率及影响因素；（3）基于复杂环境结构疲劳测试系统的结构腐蚀疲劳试验。

项目名称　浮式海上风电平台全耦合动态分析及其装置研发

承担单位　三峡珠江发电有限公司、华南理工大学、明阳智慧能源集团股份公司

项目概述　华南理工大学负责项目的模型试验研究，在上海交通大学海洋工程国家重点实验室开展了5.5 MW半潜式漂浮式风机的水池模型试验研究，该模型试验包括风力校核试验、自由衰减试验、系泊刚度试验、水平系泊波浪试验、系泊状态波浪试验、系泊状态风浪流试验等，测试分析固有周期与阻尼、浮体运动RAO、风轮推力、机舱加速度、浮体运动及系泊性能等关键参数，为项目研究提供技术支持 。

主要创新点　（1）浮式海上风力发电机组-下部支撑平台-系泊系统

总体概念设计；（2）浮式海上风力风力发电机组下部支撑平台设计关键技术；（3）漂浮式海上风力发电机组下部支撑平台系泊系统关键技术；（4）漂浮式海上风力发电机组-下部支撑平台-系泊系统全耦合数值模拟研究；（5）漂浮式海上风力发电机组-下部支撑平台-系泊系统物理模型试验；（6）漂浮式海上风电试验样机建设和运行。