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Volume 6 Issue 4
Jul.  2020
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PENG Mingxiang. Slip-line Solution to Ultimate Bearing Capacity of Shallow Strip Footings[J]. SOUTHERN ENERGY CONSTRUCTION, 2019, 6(4): 13-28. doi: 10.16516/j.gedi.issn2095-8676.2019.04.003
Citation: PENG Mingxiang. Slip-line Solution to Ultimate Bearing Capacity of Shallow Strip Footings[J]. SOUTHERN ENERGY CONSTRUCTION, 2019, 6(4): 13-28. doi: 10.16516/j.gedi.issn2095-8676.2019.04.003
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Slip-line Solution to Ultimate Bearing Capacity of Shallow Strip Footings

doi: 10.16516/j.gedi.issn2095-8676.2019.04.003
  • 1.

    China Energy Engineering Group Guangdong Electric Power Design Institute Co., Ltd., Guangzhou 510663, China)

  • Received Date: 2019-10-01
  • Rev Recd Date: 2019-11-20
  • Publish Date: 2020-07-11
  •   [Introduction]  Based on the limit equilibrium theory, an accurate approach is proposed to solve the ultimate bearing capacity of shallow strip footings under general conditions.  [Method]  The foundation soil is considered to be an ideal elastic-plastic material, which obeys the Mohr-Coulomb yield criterion, and is assumed to be an ideal continuous medium that is isotropic, homogeneous and incompressible or non-expansive. Through analyzing the relative motion and interaction between the footing and soil, the problem of the ultimate bearing capacity of shallow strip footings is divided into two categories. A minimum model with the total vertical ultimate bearing capacity as its objective function is established to solve the ultimate bearing capacity using the slip-line method with no need to make any assumptions on the plastic zone and non-plastic wedge in advance. A convenient and practical simplified method is also proposed for practical engineering purposes. Furthermore, the first category of the problem in the case of the same uniform surcharges on both sides of footing is the focus of the study: the applicable conditions of Terzaghi′s ultimate bearing capacity equation as well as the theoretical exact solutions to its three bearing capacity factors are derived, and a new bearing capacity equation is put forward as a replacement for Terzaghi′s equation. The geometric and mechanical similarity principle is proposed by a dimensionless analysis.  [Result]  The results show that for perfectly smooth footings, the total vertical ultimate bearing capacity obtained by the present method is in good agreement with those by existing methods; whereas for perfectly rough footings, the existing methods underestimate the ultimate bearing capacity.  [Conclusion]  The classic Prandtl mechanism is not the plastic failure mechanism of the ultimate bearing capacity problem of perfectly smooth footings on weightless soil.
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    • 通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com
    • 1. 

      沈阳化工大学材料科学与工程学院 沈阳 110142

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Slip-line Solution to Ultimate Bearing Capacity of Shallow Strip Footings

doi: 10.16516/j.gedi.issn2095-8676.2019.04.003
  • 1. China Energy Engineering Group Guangdong Electric Power Design Institute Co., Ltd., Guangzhou 510663, China)
  • Received Date: 2019-10-01
  • Rev Recd Date: 2019-11-20
  • Publish Date: 2020-07-11

Abstract:   [Introduction]  Based on the limit equilibrium theory, an accurate approach is proposed to solve the ultimate bearing capacity of shallow strip footings under general conditions.  [Method]  The foundation soil is considered to be an ideal elastic-plastic material, which obeys the Mohr-Coulomb yield criterion, and is assumed to be an ideal continuous medium that is isotropic, homogeneous and incompressible or non-expansive. Through analyzing the relative motion and interaction between the footing and soil, the problem of the ultimate bearing capacity of shallow strip footings is divided into two categories. A minimum model with the total vertical ultimate bearing capacity as its objective function is established to solve the ultimate bearing capacity using the slip-line method with no need to make any assumptions on the plastic zone and non-plastic wedge in advance. A convenient and practical simplified method is also proposed for practical engineering purposes. Furthermore, the first category of the problem in the case of the same uniform surcharges on both sides of footing is the focus of the study: the applicable conditions of Terzaghi′s ultimate bearing capacity equation as well as the theoretical exact solutions to its three bearing capacity factors are derived, and a new bearing capacity equation is put forward as a replacement for Terzaghi′s equation. The geometric and mechanical similarity principle is proposed by a dimensionless analysis.  [Result]  The results show that for perfectly smooth footings, the total vertical ultimate bearing capacity obtained by the present method is in good agreement with those by existing methods; whereas for perfectly rough footings, the existing methods underestimate the ultimate bearing capacity.  [Conclusion]  The classic Prandtl mechanism is not the plastic failure mechanism of the ultimate bearing capacity problem of perfectly smooth footings on weightless soil.

PENG Mingxiang. Slip-line Solution to Ultimate Bearing Capacity of Shallow Strip Footings[J]. SOUTHERN ENERGY CONSTRUCTION, 2019, 6(4): 13-28. doi: 10.16516/j.gedi.issn2095-8676.2019.04.003
Citation: PENG Mingxiang. Slip-line Solution to Ultimate Bearing Capacity of Shallow Strip Footings[J]. SOUTHERN ENERGY CONSTRUCTION, 2019, 6(4): 13-28. doi: 10.16516/j.gedi.issn2095-8676.2019.04.003
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  • 地基极限承载力是土力学极限平衡理论的三大经典课题之一，也是目前研究最多的领域。Prandtl(1920)[1]针对完全光滑条形基础、中心垂直荷载以及无地面荷载的情况，利用极限平衡理论首先研究了无重土地基极限承载力问题，求得基底极限压力处处相等，其闭合形式解如下：

    式中：c为土黏聚力；Nc为黏聚力的承载力系数，可按本文给出的式(27)计算。后来，Reissner(1924)[2]将Prandtl(1920)[1]的研究推广到基础两侧有相同均布荷载的情况，并推导出以下Prandtl-Reissner解：

    式中：q为基础两侧的均布荷载；Nq为均布荷载的承载力系数。Nc和Nq仍由式(27)确定。

    然而，如若考虑土自重和基础粗糙度，则问题会复杂得多。Terzaghi(1943)[3]针对完全粗糙条形浅基础和基础两侧均布荷载相同的情况，假定基础下方的非塑性楔为等腰三角形以及滑裂面为对数螺旋线与直线的复合曲线，使用叠加原理和极限平衡法推导了考虑土重影响的地基极限承载力方程，也就是著名的Terzaghi方程：彭明祥：条形浅基础极限承载力的滑移线解

    式中：Quv为总竖向极限承载力；B为基础宽度；γ为土重度；Nγ为关于土重度贡献的承载力系数。Nc、Nq及Nγ纯依赖土内摩擦角φ，其中Nc、Nq值由式(29)计算，而Nγ可通过查图表方式求得。

    近70多年来，应用Terzaghi方程对各种地基极限承载力问题进行了大量的理论研究，计算方法包括极限平衡法[4,5,6,7,8,9,10,11,12,13]、滑移线法[14,15,16,17,18,19,20,21,22,23]、极限分析法[24,25,26,27,28,29]、数值极限分析法[30,31,32,33]以及有限元和有限差分法[34,35,36,37,38,39]。一般认为滑移线法可以预测到一个较好的正确解[24]。Sokolovskii(1965)[14]采用滑移线法研究了地基稳定性、斜坡稳定性以及挡土墙土压力等各种极限平衡问题，并试图给出求解滑移线场数值解的一般性方法，但他的方法一般仅适用于无粘性土的情况。Bolton和Lau(1993)[16]采用滑移线法研究了条形和圆形基础的地基承载力问题，分析了光滑和完全粗糙基础对承载力系数的影响。Kumar和Mohan Rao(2002)[19]使用滑移线法分析了水平地震力对条形基础极限承载力的影响，但他们未能考虑基础与土界面的固有摩擦特性，而简单地假定基底处处的剪应力与正应力之比等于水平地震系数。Martin(2004)[22]基于滑移线法开发了一个计算条形和圆形基础极限承载力的软件ABC，可考虑土黏聚力c随深度线性变化的影响，但该程序仅适用于基础两侧均布荷载相同的光滑和完全粗糙基础的情况。Cheng和Au(2005)[21]利用滑移线法和单侧破坏机构研究了斜坡光滑条形基础的极限承载力问题。针对无黏性粒状土的情况，一些研究者(Ueno等，2001[17]；Zhu等，2001[18]；Lau和Bolton，2011[23,40])考虑土的应力相关内摩擦角φ对极限承载力的影响，采用滑移线法近似求解条形和圆形基础的极限承载力，并且进行了试验验证。然而，内摩擦角随平均应力变化使得极限平衡问题的数学求解更加复杂和困难，而且至今尚未严格推导出可变φ的控制方程。

    目前关于条形浅基础极限承载力方面的研究已取得了很大进展，但至今仍未见到一个较为完整的理论解，而如何精确评估Nγ这个众所周知的问题也一直得不到很好解决。笔者认为，原因在于对以下几方面问题缺乏认识：

    1)关于极限平衡问题的真解。Chen(1975)[24]作过这样的评论：“滑移线解不一定是真解。如果利用关联流动法则，并对所得的应力-应变率方程求积分，从而得到一个运动许可速度场，那么滑移线解就是一个上限解；另外，如果滑移线应力场可以扩延至土体的整个半空间，且平衡方程、应力边界条件和屈服条件均能满足，那么滑移线解又是一个下限解，因而也是真解。”目前许多文献(Frydman和Burd，1997[36]；Michalowski，1997[25]；Martin，2004[22]和2005[41]；Hjiaj等，2005[32])还是引用这个观点。但是，随着采用滑移线法成功求解在一般情况下挡土墙极限土压力(彭明祥，2011[42]和2019[43]；Peng和Chen, 2013[44])，有理由相信滑移线解就是极限平衡问题理论上的真解。

    2)关于基底的应力边界条件。确定该边界条件的困难在于仍不清楚基础与土之间的相对运动和相互作用(Bolton和Lau，1993[16])。

    3)关于基底下方的非塑性楔。目前这方面的研究并不多，至今尚不清楚理论上非塑性楔是如何形成的，也不清楚非塑性楔存在与否的条件。

    4)关于Terzaghi(1943)[3]极限承载力方程。目前几乎所有的研究都离不开Terzaghi方程，然而，关于这个方程本质方面的问题还有待进一步研究。例如，Terzaghi方程只是一个基于叠加假定、保守的近似方程(Davis和Booker，1971[15]；Griffiths, 1982[34]；Bolton和Lau，1993[16]；Zhu等，2003[9])，还是一个精确的理论方程？它的严格适用条件是什么？它的三个承载力系数与哪些基本参数有关？以及能否求得这些承载力系数的理论精确解？

    本文基于极限平衡理论，首先通过分析基础与土之间的相对运动和相互作用，将条形浅基础极限承载力问题分为两类问题；其次建立一个采用滑移线法求解一般情况下极限承载力的最小值模型，而无需事先对塑性区和非塑性楔作任何假定；最后，研究基础两侧均布荷载相同的第一类问题，给出Terzaghi方程的适用条件及其三个承载力系数的理论精确解，提出一个新承载力方程替代Terzaghi方程，而且通过无量纲分析还提出几何力学相似原理，该原理有望为地基承载力试验研究提供理论指导。

1　计算模型与求解

    1.1　基本假定

  • 条形浅基础极限承载力的计算模型如图1所示。设刚性基础与土之间的黏结力和摩擦角分别为cw和δ；基础中心作用一个由上部结构传来的线荷载P，且荷载P的倾角为ω；基础两侧地面分别作用均布荷载q1和q2。基本假定如下：

    Figure 1.  Calculation models

    1)该问题为平面应变问题。

    2)地基土为服从Mohr-Coulomb屈服准则的理想弹塑性材料，并且是各向同性的、均匀的以及不可压缩或不可膨胀的理想连续介质，由三个常参数γ、c和φ表征。

    3)刚性基础与土之间的界面满足库仑摩擦定律，由两个常参数cw和δ表征。

    4)不考虑基底水平面以上土抗剪强度以及基础侧面阻力的影响，基底以上土体分别用均布荷载q1和q2代替。

    • 1.2　两类问题

  • 根据基础在上部荷载P作用下是否沿着基础与土界面发生水平滑动，可将条形浅基础极限承载力问题分为以下两类。

    • 1.2.1　第一类问题

  • 如图1(a)所示，荷载P的水平分力较小，基础沿基础与土界面不会产生＋x方向的水平滑动。当基础加载时，基础两侧边缘A1和A2附近的土体一般最先进入塑性流动状态而形成两个局部塑性区Ω1和Ω2，随着荷载不断增加，塑性区不断扩展并最终相交于点O。第一类问题的特点是基础无水平运动而塑性土被迫向基础两侧挤出，也就是“土动而基础不动”，以及基础对土的摩擦力总是阻碍土的塑性流动。可以推断，基础与塑性流动土之间总是存在着相互作用力，而塑性流动土对基底所产生的竖向压力之总和就是地基的总竖向极限承载力Quv。一般地，设作用于基底OA1、OA2的极限承载力分别为qu1和qu2，相应的竖向极限承载力分别为quv1和quv2，则有：

    ((4))

    式中：b为基底OA1的宽度。

    然而，在一些情况下，塑性区Ω1和Ω2相切于基底下方的点E而形成一个非塑性楔O1EO2，如图1(b)所示。假设非塑性楔与基础为一个整体，构成一个可称为“楔形基础”的新基础，则可得到Quv为：

    ((5))

    式中：V1、V2分别为塑性流动土作用于非塑性楔侧面O1E和O2E的垂直向下拉力；t为楔底O1O2的宽度。如t＝0，则V1＝V2＝0，且式(5)退化为式(4)。

    • 1.2.2　第二类问题

  • 如图1(c)所示，荷载P的水平分力较大，基础沿基础与土界面产生＋x方向的水平滑动。例如，地震作用下的条形基础(Sarma和Iossifelis，1990[5]；Soubra，1999[26]；Kumar和Mohan Rao，2002[19]；Choudhury和Subba Rao，2005[10])、重力式挡水坝以及刚性挡土墙等的地基极限承载力问题大多数属于这种情况。第二类问题的特点是“基础先土而动”，以及土对基础的摩擦力总是阻碍基础的水平运动。但是，基础对土的摩擦力所起的作用却不同：对于基底OA1，摩擦力方向与土塑性流动方向相同，因而摩擦力加速土的塑性流动；对于基底OA2，摩擦力方向与土塑性流动方向相反，因而摩擦力阻碍土的塑性流动。第二类问题的塑性区渐进形成过程与第一类问题的相类似，总竖向极限承载力Quv按式(4)计算，而总水平极限承载力Quh按下式计算：

    ((6))

    联立式(4)和式(6)，可以得到以下关系式：

    ((7))

    式中：Quh和Quv满足线性关系。一旦求解Quv，则Quh可按上式计算。

    对于实际工程应用，选择按第一类问题还是第二类问题进行地基极限承载力计算，完全取决于上部荷载P的大小和倾角、基础宽度B以及界面摩擦特性cw和δ。可以导出，当以下条件满足时基础沿基础与土界面不会产生＋x方向水平滑动：

    ((8))

    当式(8)条件满足时，按第一类问题考虑；否则，应按第二类问题考虑。对于完全光滑基础的情况，即当cw＝0，δ＝0时，第一类和第二类问题的计算结果完全一致。如若基础荷载P为偏心荷载，且它的偏心距为e，则基础宽度应取有效宽度B′＝B-2e(Meyerhof，1953[45])。注意：除非另有说明，本文中的基础荷载均假定为一个中心荷载。

    • 1.3　求解方法

  • 由式(4)或式(5)可知，在其它参数不变的情况下，Quv是一个关于b的函数，取不同的b值可得到不同的Quv值，而其中最小值Quv(b*)就是所欲求的总竖向极限承载力。该优化问题的数学模型如下：

    ((9))

    式中：b*和Quv(b*)为问题的最优解。

    该问题可采用一维搜索方法如分数法、黄金分割法以及抛物线法等求解。为了计算一个目标函数值Quv(b)，需事先求解两个滑移线应力场Ω1和Ω2，它们的求解方法是相同的，可归结为求解图2所示的基本边值问题。

    Figure 2.  Basic boundary value problem

    对于第一类问题，其计算步骤如下：

    1)赋给b一个值并且令q＝q1，求解基本边值问题得到滑移线应力场Ω1。

    2)通过迭代计算确定t值；如非塑性楔不存在，则t＝0。

    3)用B-b-t替代b以及令q＝q2，再次求解基本边值问题，并作关于x＝-B/2轴的镜像变换即可得到滑移线应力场Ω2。

    4)目标函数值Quv(b)按式(5)计算。特别地，当t＝0时，Quv(b)可直接按式(4)计算。

    对于第二类问题，同理可确定Quv(b)值。不同的是在求解Ω1时，由于基础对土的摩擦力方向总是与土塑性流动方向相同，因此cw和δ应取负值；另外，t值保持为零。

2　基本边值问题

  • 如图2所示，基本边值问题可看作挡土墙被动土压力问题的一个特例，即相当于墙背倾角为π、墙高为0、墙土接触面长度为b以及地面水平的情况。该极限平衡问题可采用滑移线法求解，其基本方程、边界条件、有限差分法以及无量纲分析等同彭明祥(2011)[42]的研究，故在此不作赘述。所求得的滑移线应力场一般由主动区ADO、辐射剪切区ACD以及被动区ABC三部分组成。

    基本边值问题的规格化滑移线应力场取决于参数φ、δ、η1及η2，其中无量纲参数η1和η2由下式定义：

    ((10))

    一旦求解了规格化滑移线应力场，则基底OA上任意点M的极限承载力可由下式确定：

    ((11))

    式中：NvM为点M的规格化竖向极限承载力或称竖向承载力系数，可按下式计算：

    ((12))

    式中：p′M为点M的规格化平均应力；R′M、R′w为点M处的规格化应力圆半径，也就是，R′M＝p′Msinφ＋η1cosφ，R′w＝p′Msinδ＋η2cosδ。

    一般而言，竖向极限承载力quv沿基底OA呈非线性分布，但为了方便起见，工程上通常基于总承载力相等原理假定为线性分布(见图2中的虚线)，这样只需确定点A、O的竖向极限承载力即可。设点A、O的竖向极限承载力分别为quv(0)和quv(-b)，则有：

    ((13))

    式中：Nv0、Nv1分别代表点A、O的竖向承载力系数，与参数φ、δ、η1及η2有关。为了便于工程应用，笔者已编制了一些常用φ、δ值的Nv0和Nv1表格，以PDF格式可无偿提供给读者使用。其中土内摩擦角φ包括5°、10°、15°、20°、25°、30°、35°、40°、45°、50°和55°；对于每一个φ值，δ值分别选取0、φ/4、φ/3、φ/2、2φ/3、3φ/4和φ。因此，根据φ、δ、η1及η2/η1通过查表和使用线性插值即可确定相应的Nv0和Nv1值。表1给出几种不同φ、δ值的Nv0和Nv1。

    工况 φ＝25°，δ＝-10° φ＝25°，δ＝10°
    η2/η1 -1 -0.5 0 0 0.5 1
    η1 Nv0 Nv1 Nv0 Nv1 Nv0 Nv1 Nv0 Nv1 Nv0 Nv1 Nv0 Nv1
    0.0 0 3.422 9 0 3.422 9 0 3.422 9 0 11.330 0 11.330 0 11.330
    0.2 2.551 7 7.442 1 2.798 1 7.945 1 3.013 3 8.407 9 5.225 5 21.239 5.327 4 21.515 5.422 3 21.784
    0.4 5.103 5 10.365 5.5962 11.187 6.026 6 11.936 10.451 27.988 10.655 28.426 10.845 28.851
    0.6 7.655 2 13.117 8.3943 14.228 9.0399 15.234 15.676 34.131 15.982 34.711 16.267 35.270
    0.8 10.207 15.797 11.192 17.183 12.053 18.433 20.902 39.992 21.309 40.703 21.689 41.385
    1.0 12.759 18.439 13.991 20.093 15.067 21.579 26.127 45.692 26.637 46.527 27.111 47.327
    1.2 15.310 21.059 16.789 22.975 18.080 24.693 31.353 51.288 31.964 52.243 32.534 53.156
    1.4 17.862 23.663 19.587 25.839 21.093 27.785 36.578 56.813 37.292 57.884 37.956 58.907
    1.6 20.414 26.256 22.385 28.689 24.106 30.861 41.804 62.286 42.619 63.471 43.378 64.602
    1.8 22.966 28.843 25.183 31.531 27.120 33.927 47.029 67.720 47.946 69.018 48.800 70.254
    2.0 25.517 31.423 27.981 34.365 30.133 36.984 52.255 73.123 53.274 74.533 54.223 75.873
    2.2 28.069 33.999 30.779 37.194 33.146 40.034 57.480 78.503 58.601 80.023 59.645 81.466
    2.4 30.621 36.572 33.577 40.019 36.160 43.080 62.706 83.864 63.928 85.493 65.067 87.039
    2.6 33.173 39.142 36.375 42.840 39.173 46.121 67.931 89.208 69.256 90.946 70.489 92.593

    Table 1.  Vertical bearing capacity factors Nv0 and Nv1

    如表1所示，笔者发现并证明了一个很有用的关系式，也就是Nv0＝η1f(φ，δ，η2/η1)。但是，在一般条件下函数f并无显性表达式，只有当后面的式(15)或式(22)满足时，才恒有f＝Nc，式中Nc由式(24)确定。还注意到Nv0一般通过简单的迭代计算即可求得，而Nv1则必须待滑移线应力场求解后方可确定。

3　塑性破坏

    3.1　塑性区

  • 当基础不断加载时，地基会逐渐进入塑性破坏状态。塑性区的形状和大小完全取决于该问题的类型和相关参数，可通过求解前面给出的最优化问题自动确定，而无需事先作任何假定。例如第一类问题，参数B＝1 m，γ＝20 kN/m3，c＝10 kPa，φ＝25°，cw＝5 kPa以及δ＝10°。如果保持q2＝30 kPa不变而只改变q1，则地基会发生不同的塑性破坏。当q1≤3.781 kPa时，地基发生右侧塑性破坏，总竖向极限承载力Quv随着q1的增大而增大，如图3(a)所示。当3.781 kPa<q1<58.723 kPa时，地基发生双侧塑性破坏，Quv随着q1的增大而增大，如图3(b)和3(c)所示。当q1≥58.723 kPa时，地基发生左侧塑性破坏，Quv不再随着q1的变化而变化，如图3(d)所示。

    Figure 3.  Variation of plastic failures with q1

    此外，还给出几种特殊情况的地基塑性破坏，分别如下：

    情况1：纯黏性土δ＝φ＝0的第一类问题，quv沿基底处处相等。当q1<q2时，可求得最优解b*＝B，即地基发生右侧塑性破坏。当q1>q2时，可得b*＝0，地基发生左侧塑性破坏。当q1＝q2时，最优化问题有无数解，即b*∈[0，B]，地基塑性破坏具有不确定性。

    情况2：纯黏性土δ＝φ＝0的第二类问题，quv沿基底处处相等。如q2一定，则总存在一个q1的临界值q1cr，也就是q1cr＝q2＋2csin-1(cw/c)。当q1<q1cr时，可得b*＝B，地基发生右侧塑性破坏。当q1>q1cr时，可得b*＝0，地基发生左侧塑性破坏。当q1＝q1cr时，可得b*∈[0，B]，地基塑性破坏具有不确定性。

    情况3：无重土γ＝0的第一类问题，quv沿基底处处相等。当q1<q2时，可得b*＝B，地基发生右侧塑性破坏。当q1>q2时，可得b*＝0，地基发生左侧塑性破坏。当q1＝q2时，可得b*∈[0，B]，地基塑性破坏具有不确定性。应当指出，Prandtl(1920)[1]、Reissner(1924)[2]和Hill(1950)[46]最先研究了无重土地基上水平光滑基础的情况，即参数γ＝0，cw＝0，δ＝0以及q1＝q2，并给出了相同的极限荷载，由式(2)表示，但他们却使用了不同的破坏机构。事实上，Hill机构[46]仅仅是一个对应于b*＝B/2的塑性破坏。然而，Prandtl机构[1,2]却是错误地将左侧和右侧破坏机构简单地重叠在一起的结果，并不代表该极限平衡问题的塑性破坏。

    情况4：无重土γ＝0的第二类问题，quv沿基底处处相等。如q2值保持不变，则总是可以通过迭代计算确定q1的临界值q1cr。当q1<q1cr时，可得b*＝B，地基发生右侧塑性破坏。当q1>q1cr时，可得b*＝0，地基发生左侧塑性破坏。当q1＝q1cr时，可得b*∈[0，B]，地基塑性破坏具有不确定性。

    • 3.2　非塑性楔

  • 一般认为，对于完全粗糙基础和基础两侧均布荷载相等(即cw＝c，δ＝φ及q1＝q2＝q)的第一类问题，在基底下方会出现一个非塑性楔。但是，关于非塑性楔的形状、大小至今还没有一个统一认识。如图4(a)所示，目前大多数研究通常假定非塑性楔是一个等腰三角形，它的底角为(i) ψ＝φ (Terzaghi，1943[3]；Kumbhojkar，1993[6])；(ii) ψ＝π/4＋φ/2(Meyerhof，1951[4]；Bolton和Lau，1993[16]，Dewaikar和Mohapatra，2003[7]；Zhu等，2003[9])；(iii) ψ对应于最小Nγ值(Zhu，2000[27]；Silvestri，2003[8])。这些非塑性楔的大小随着φ的增大而增大，并且除情况(ii)外，其他情况当φ＝0时非塑性楔不存在。如图4(b)所示，Kumar(2003)[20]假定沿基础与土界面的摩擦角δ从基础中心处为0逐渐地增加到基础边缘处为φ，提出一个以两条滑移线为边界的曲边非塑性楔，每条滑移线在基础边缘处与基底相切，并且与基础中心线的倾角为π/4-φ/2。然而，他认为非塑性楔的一条曲边为α滑移线而另一条为β滑移线。还有一些研究者(Davis和Booker，1971[15]；Martin，2004[22]和2005[41])采用以两条α滑移线为边界的非塑性楔。

    Figure 4.  Non-plastic wedges for perfectly rough footing

    以上非塑性楔有一个共同点，就是基底全宽以下的土体处于非塑性状态，但是，这与极限平衡理论所预示的结果不相符。可以证明，当基础不断加载时，除了基础中心附近的土体可能仍处于弹性状态外，其它地方的土体总是可以从弹性状态逐渐变为塑性状态。有限元和有限差分法(Frydman和Burd，1997[36]；Yin等，2001[37]；Loukidis和Salgado，2009[38])的数值计算结果也验证了这点。本文首次提出用于完全粗糙基础的非塑性楔如图4(c)所示，它是一个由塑性区Ω1和Ω2相切于基底下方的点E而形成的等腰曲边三角形O1EO2，两条曲边均为β滑移线，并且在基底处的水平倾角为π/2-φ。非塑性楔的大小随着φ的增大而增大，当φ＝0时，非塑性楔不存在。

    对于一般情况下的第一类极限承载力问题，当地基发生单侧塑性破坏时，非塑性楔不存在；当地基发生双侧塑性破坏时，不存在非塑性楔的充要条件是：

    ((14))

    式中：R′M1、R′w1、R′M2及R′w2代表图1(a)点O的规格化应力圆半径。特别地，如参数φ、δ、c及cw满足以下方程：

    ((15))

    则式(14)可简化为

    ((16))

    无黏性土不同δ值的地基塑性破坏如图5所示，参数B＝2 m，γ＝20 kN/m3，cw＝c＝0，φ＝30°，q1＝20 kPa以及q2＝10 kPa。式(15)总是满足，当δ≤19.106 6°时，式(16)满足，塑性区Ω1和Ω2相交于基底上点O如图5(a)和图5(b)所示，或相切于点O如图5(c)所示，因而不存在非塑性楔；当δ>19.106 6°时，式(16)不满足，Ω1和Ω2相切于基底下方的点E，存在非塑性楔O1EO2，如图5(d)和图5(e)所示。笔者还注意到，Kumar(2004)[29]通过上限极限分析给出类似以上的结果，即对于一个给定φ值，总存在一个相应的δR值，当δ≤δR时不存在非塑性楔。可是，当δ>δR时，他却得出基底可假定为完全粗糙的结论。

    Figure 5.  Plastic failures of cohesionless soil with φ＝30°

    可以证明，第二类问题在任何情况下都不存在非塑性楔。

4　新承载力方程

  • 现在研究q1＝q2＝q的第一类极限承载力问题。如图6所示，当式(14)满足时，基底下方不存在非塑性楔，竖向极限承载力关于基础中心线呈对称连续分布，可推导出总竖向极限承载力如下：

    Figure 6.  First category of problem without non-plastic wedge

    ((17))

    式中：Nv为平均竖向承载力系数，可由下式确定：

    ((18))

    式中：x′为规格化坐标(即x′＝x/b，b＝B/2)；Nv是关于φ、δ、η1及η2的函数，并且随着这些参数的增大而增大。而基底平均竖向极限承载力可表示为：

    ((19))

    式(19)就是本文提出的新承载力方程。对于无重土的情况同样适用，只需将前面各式中的γ取任意非零值如水重度即可，并且恒有Nv＝Nv0。工程上为了方便起见，通常假定竖向极限承载力沿基底OA1和OA2分别呈线性分布，因而Nv可按下式计算：

    ((20))

    如图7所示，当式(14)不满足时，基底下方存在一个非塑性楔O1EO2，而导致竖向极限承载力沿基底呈不连续分布。由式(5)可得到基底平均竖向极限承载力：

    Figure 7.  First category of problem with non-plastic wedge

    ((21))

    式(21)也可采用新承载力方程表示。基于总承载力相等原理，假定竖向极限承载力沿基底呈对称线性连续分布，则其Nv仍可由式(20)确定。

    根据彭明祥(2011)[42]的无量纲分析研究，不难导出q1＝q2＝q、φ>0及γ>0的第一类问题的几何力学相似原理，可以表达如下：

    若两个问题的参数φ、δ、η1及η2相等，则滑移线场几何相似，相似系数为两者B之比值；基底平均竖向极限承载力减去q后相似，相似系数为两者γB之比值；总竖向极限承载力减去qB后相似，相似系数为两者γB2之比值。

    从理论上而言，Terzaghi方程对一般情况并不适用，而仅适用于基底竖向极限承载力呈对称连续分布以及基础边缘竖向极限承载力可分解为cNc与qNq之和的情况。第一个条件意味着基础两侧均布荷载相等和基底以下无非塑性楔，而第二个条件意味着基底上任意点M的应力圆半径之比R′w/R′M与平均应力无关。因此，Terzaghi方程仅适用于同时满足q1＝q2＝q、式(14)及式(22)的第一类问题。

    ((22))

    式中：λ间接地反映土抗剪强度沿基底被调动的程度，可称为“基础粗糙度”，有0≤λ≤1。如λ≡0，则δ＝0，cw＝0，表示沿基础与土界面的抗剪强度为零即基底完全光滑；如λ≡1，则δ＝φ， cw＝c，表示全部调动了土的抗剪强度即基底完全粗糙。不难证明，当且仅当式(15)满足时，式(22)成立并且可简化为：

    ((23))

    如若式(22)在基底上处处满足，则基础边缘的竖向极限承载力quv(0)或quv(-B)可表达为cNc＋qNq，并且Nc、Nq的理论精确解为：

    ((24))

    式中：Nc和Nq与φ、λ有关，并随着这些参数的增大而增大。

    另一方面，至今也没有找到一般情况下被一致认可的Nγ值，通常是不同的研究者给出不同的结果，其中有些差别甚至还相当大(Sieffert和Bay-Gress，2000[47]；Ukritchon等，2003[31]；Diaz-Segura，2013[48]；Motra等，2016[49])。然而，可以证明(见附录1)，对于满足q1＝q2＝q、式(14)及式(22)的第一类问题，Terzaghi方程与新承载力方程总是等价的，并且Nγ的理论精确解为：

    ((25))

    式中：Nγ是关于φ、δ、η1及η2的函数，并且随着这些参数的增大而增大。由此可以推断，Nγ随着B的增大而减小(Griffiths，1982[34]；Ueno等，2001[17])，随着c/γB和q/γB的增大而增大(Michalowski，1997[25])以及随着(q＋ccotφ)/γB的增大而增大(Davis和Booker，1971[15]；Zhu等，2003[9])。很显然，假定c＝0，q＝0求解Nγ值的传统做法是不恰当的。

    方程(25)给出了长期以来人们一直在寻求的Nγ理论精确解，通常可采用数值积分求解。如假设竖向极限承载力沿基底呈对称线性分布，则Nγ可按下式计算：

    ((26))

    根据前面的分析可进一步推断出，Terzaghi方程仅适用于同时满足q1＝q2＝q、式(15)及式(16)的第一类问题。现分别讨论以下几种特殊情况：

    情况1：完全光滑基础，即δ＝0，cw＝0及λ≡0。式(15)和式(16)两个条件都满足，因此Terzaghi方程适用，并且式(24)可简化为：

    ((27))

    情况2：完全粗糙基础，即δ＝φ，cw＝c及λ≡1。除了δ＝φ＝0的情况外式(16)不满足，因此Terzaghi方程不适用。但由于式(22)满足，式(24)可简化为：

    ((28))

    然而，针对这种完全粗糙基础的情况，Terzaghi(1943)[3]假定非塑性楔为图4(a)中ψ＝φ的等腰三角形，推导出Nc、Nq的解析解如下：

    ((29))

    Terzaghi(1943)[3]还假定，所得Nc、Nq与完全光滑基础的完全一致。

    情况3：无黏性土，即cw＝c＝0，λ≡sinδ/sinφ且φ>0。式(15)总是满足，但式(16)不总是满足，因此Terzaghi方程不总是适用。

    情况4：纯黏性土，即δ＝φ＝0，λ≡cw/c且c>0。以上两个条件都满足，因此Terzaghi方程适用，并且恒有Nγ＝0和Nq＝1。

    最后还应指出，新承载力方程与Terzaghi方程相比其优点是显而易见的，新承载力方程不仅物理意义明确以及适用范围更广，而且其形式简洁而优美，因而更有利于理论分析、试验研究以及工程应用。下面给出无黏性土两个特例的计算结果，并与现有文献的研究成果进行比较。

5　比较

    5.1　完全光滑基础(λ≡0)

  • 某一条形基础的参数B＝1 m，γ＝20 kN/m3，cw＝c＝0，δ＝0及q1＝q2＝q，求解第一类极限承载力问题。Terzaghi方程适用于该情况，并且Nq按式(27)计算。不同q、φ值的计算结果如表2和图8所示，分析比较如下：

    Figure 8.  Calculation results for perfectly smooth footings

    φ/(°) 本文方法 Martin(2004)[22] Bolton和Lau(1993)[16] Chen(1975)[24] Sokolovskii(1965)[14]
    Nv Nγ Quv/kN Nγ Quv/kN Error/ % Nγ Quv/kN Error/ % Nγ Quv/kN Error/ % Nγ Quv/kN Error/ %
    q＝0
    5 0.085 0.085 0.85 0.084 0.84 -0.05 0.09 0.90 6.51 0.131 1.31 55.03 0.17 1.70 101.18
    10 0.281 0.281 2.81 0.281 2.81 0.07 0.29 2.90 3.28 0.461 4.61 64.17 0.56 5.60 99.43
    15 0.699 0.699 6.99 0.699 6.99 0.03 0.71 7.10 1.60 1.16 11.60 66.00 1.40 14.00 100.34
    20 1.578 1.578 15.78 1.579 15.79 0.06 1.60 16.00 1.39 2.68 26.80 69.83 3.16 31.60 100.25
    25 3.461 3.461 34.61 3.461 34.61 0.01 3.51 35.10 1.43 5.90 59.00 70.49 6.92 69.20 99.97
    30 7.655 7.655 76.55 7.653 76.53 -0.03 7.74 77.40 1.10 12.70 127.00 65.89 15.30 153.00 99.86
    35 17.599 17.599 175.99 17.577 175.77 -0.13 17.80 178.00 1.14 28.60 286.00 62.51 35.20 352.00 100.01
    40 43.293 43.293 432.93 43.187 431.87 -0.24 44.00 440.00 1.63 71.60 716.00 65.38 86.50 865.00 99.80
    q＝20 kPa
    5 1.346 0.210 33.46 0.210* 33.46 0.00 0.09 32.25 -3.60 0.131 32.66 -2.38 0.17 33.05 -1.21
    10 3.562 0.619 55.62 0.619* 55.62 0.00 0.29 52.33 -5.92 0.461 54.04 -2.84 0.56 55.03 -1.06
    15 7.293 1.411 92.93 1.411* 92.93 0.00 0.71 85.92 -7.54 1.16 90.42 -2.70 1.40 92.82 -0.12
    20 13.767 2.968 157.67 2.968* 157.67 0.00 1.60 143.99 -8.68 2.68 154.79 -1.83 3.16 159.59 1.22
    25 25.462 6.138 274.62 6.138* 274.62 0.00 3.51 248.34 -9.57 5.90 272.24 -0.87 6.92 282.44 2.85
    30 47.723 12.921 497.23 12.921* 497.23 0.00 7.74 445.42 -10.42 12.70 495.02 -0.44 15.30 521.02 4.78
    35 93.059 28.467 950.59 28.467* 950.59 -0.00 17.80 843.92 -11.22 28.60 951.92 0.14 35.20 1017.92 7.08
    40 193.890 67.499 1 958.90 67.496* 1 958.86 -0.00 44.00 1 723.90 -12.00 71.60 1 999.90 2.09 86.50 2 148.90 9.70
    q＝40 kPa
    5 2.496 0.225 64.96 0.225* 64.96 0.00 0.09 63.61 -2.08 0.131 64.02 -1.45 0.17 64.41 -0.85
    10 6.545 0.660 105.45 0.660* 105.45 0.00 0.29 101.76 -3.50 0.461 103.47 -1.88 0.56 104.46 -0.94
    15 13.264 1.499 172.64 1.499* 172.64 0.00 0.71 164.75 -4.57 1.16 169.25 -1.97 1.40 171.65 -0.58
    20 24.748 3.151 287.48 3.151* 287.48 0.00 1.60 271.98 -5.39 2.68 282.78 -1.64 3.16 287.58 0.03
    25 45.164 6.515 491.64 6.515* 491.64 -0.00 3.51 461.58 -6.11 5.90 485.49 -1.25 6.92 495.68 0.82
    30 83.336 13.732 873.36 13.732* 873.36 0.00 7.74 813.44 -6.86 12.70 863.04 -1.18 15.30 889.04 1.80
    35 159.508 30.324 1635.08 30.322* 1 635.06 -0.00 17.80 1 509.84 -7.66 28.60 1 617.84 -1.05 35.20 1 683.84 2.98
    40 324.929 72.148 3289.29 72.142* 3 289.23 -0.00 44.00 3 007.81 -8.56 71.60 3 283.81 -0.17 86.50 3 432.81 4.36

    Table 2.  Comparison of results for perfectly smooth footings

    当q＝0时，Martin(2004)[22]采用滑移线法计算的Quv和Nγ与本文几乎一致。Bolton和Lau(1993)[16]采用滑移线法计算的结果比本文略高1.10%～6.51%。但是，所有这些Nγ值仅代表δ＝0、η1＝η2＝0情况的精确值，并不适用于其它一般情况。Chen(1975)[24]采用上限极限分析计算的结果比本文高55.03%～70.49%。Sokolovskii(1965)[14]采用滑移线法计算的结果约等于本文的两倍，原因是他的Nγ由单侧破坏机构确定而本文Nγ由对称破坏机构确定。还应指出，为了避免出现任何浮点错误，Ueno等(2001)[17]、Kumar和Mohan Rao(2002)[19]、Kumar (2003)[20]、Martin(2004)[22]和Martin(2005)[41]保持q为一个最小可能的有限值，但本文通过加密应力奇点附近的网格，无量纲数q/γB可取任意小的非零值如10-8、10-16和10-99等。

    当q＝20 kPa时，采用Martin(2004)[22]软件ABC计算的总竖向极限承载力Quv与本文几乎一致。Bolton和Lau(1993)[16]得到的Quv值比本文低3.60%～12.00%，误差随φ的增大而增大。Chen(1975)[24]得到的Quv与本文较为一致，最大误差为2.84%。当φ≤15°时，Sokolovskii(1965)[14]得到的Quv比本文略低0.12%～1.21%，误差随φ的增大而减小；当15°<φ≤40°时，比本文高1.22%～9.70%，误差随φ的增大而增大。

    当q＝40 kPa时，采用Martin(2004)[22]软件ABC计算的总竖向极限承载力Quv与本文几乎一致。Bolton和Lau(1993)[16]得到的Quv比本文低2.08%～8.56%，误差随φ的增大而增大。Chen(1975)[24]得到的Quv比本文略低0.17%～1.97%。当φ≤15°时，Sokolovskii(1965)[14]得到的Quv比本文略低0.58%～0.94%，误差随φ的增大而减小；当15°<φ≤40°时，比本文高0.03%～4.36%，误差随φ的增大而增大。

    表2结果还表明，本文Nγ和Martin(2004)[22]的Nγ随着q、φ的增大而增大，而其他研究者的Nγ仅随φ的增大而增大，而与q无关。

    • 5.2　完全粗糙基础(λ≡1)

  • 某一条形基础的参数B＝1 m，γ＝20 kN/m3，cw＝c＝0，δ＝φ≠0及q1＝q2＝q，求解第一类极限承载力问题。由于式(16)不满足，因此Terzaghi方程在这里并不是严格地适用而只是一种近似。Martin(2004)[22]、Bolton和Lau(1993)[16]和Chen(1975)[24]按式(27)计算Nq，而Terzaghi(1943)[3]按式(29)计算。不同q、φ值的计算结果如表3和图9所示，分析比较如下：

    Figure 9.  Calculation results for perfectly rough footings

    φ/(°) 本文方法 Martin(2004)[22] Bolton和Lau(1993)[16] Chen(1975)[24] Terzaghi(1943)[3]
    Nv Quv/ kN Nγ Quv/kN Error/ % Nγ Quv/kN Error/ % Nγ Quv/kN Error/% Nγ Quv/ kN Error/ %
    q＝0
    5 0.114 1.14 0.113 1.13 -0.81 0.62 6.20 442.43 0.382 3.82 234.21 0.50 5.00 337.45
    10 0.447 4.47 0.433 4.33 -3.16 1.71 17.10 282.29 1.16 11.60 159.33 1.20 12.00 168.28
    15 1.267 12.67 1.181 11.81 -6.76 3.17 31.70 150.28 2.73 27.30 115.54 2.50 25.00 97.38
    20 3.183 31.83 2.839 28.39 -10.80 5.97 59.70 87.58 5.87 58.70 84.44 5.00 50.00 57.10
    25 7.618 76.18 6.491 64.91 -14.79 11.60 116.00 52.28 12.40 124.00 62.78 9.70 97.00 27.34
    30 18.083 180.83 14.754 147.54 -18.41 23.60 236.00 30.51 26.70 267.00 47.66 19.70 197.00 8.95
    35 43.677 436.77 34.476 344.76 -21.07 51.00 510.00 16.77 60.20 602.00 37.83 42.40 424.00 -2.92
    40 111.435 1 114.35 85.566 855.66 -23.21 121.00 1 210.00 8.58 147.00 1 470.00 31.92 100.40 1 004.00 -9.90
    q＝20 kPa
    5 1.621 36.21 0.376* 35.11 -3.03 0.62 37.55 3.71 0.382 35.17 -2.86 0.50 37.84 4.49
    10 4.516 65.16 1.122* 60.65 -6.92 1.71 66.53 2.10 1.16 61.03 -6.34 1.20 65.87 1.09
    15 9.722 117.22 2.579* 104.61 -10.76 3.17 110.52 -5.71 2.73 106.12 -9.47 2.50 113.92 -2.81
    20 19.187 211.87 5.457* 182.56 -13.83 5.97 187.69 -11.41 5.87 186.69 -11.89 5.00 198.77 -6.18
    25 36.951 389.51 11.326* 326.50 -16.18 11.60 329.24 -15.47 12.40 337.24 -13.42 9.70 351.41 -9.78
    30 72.205 742.05 23.887* 606.89 -18.21 23.60 604.02 -18.60 26.70 635.02 -14.42 19.70 646.11 -12.93
    35 147.066 1 490.66 52.651* 1 192.43 -20.01 51.00 1 175.92 -21.11 60.20 1 267.92 -14.94 42.40 1 252.79 -15.96
    40 320.843 3 228.43 124.75* 2 531.45 -21.59 121.00 2 493.90 -22.75 147.00 2 753.90 -14.70 100.40 2 629.42 -18.55
    q＝40 kPa
    5 2.951 69.51 0.418* 66.89 -3.77 0.62 68.91 -0.87 0.382 66.53 -4.29 0.50 70.67 1.68
    10 8.061 120.61 1.233* 111.19 -7.81 1.71 115.96 -3.86 1.16 110.46 -8.42 1.20 119.74 -0.72
    15 16.902 209.02 2.814* 185.78 -11.12 3.17 189.35 -9.41 2.73 184.95 -11.52 2.50 202.85 -2.95
    20 32.560 365.60 5.926* 315.23 -13.78 5.97 315.68 -13.66 5.87 314.68 -13.93 5.00 347.55 -4.94
    25 61.424 654.24 12.262* 549.10 -16.07 11.60 542.49 -17.08 12.40 550.49 -15.86 9.70 605.82 -7.40
    30 117.337 1 213.37 25.824* 994.29 -18.06 23.60 972.04 -19.89 26.70 1 003.04 -17.33 19.70 1 095.23 -9.74
    35 233.012 2 370.12 56.911* 1 900.95 -19.80 51.00 1 841.84 -22.29 60.20 1 933.84 -18.41 42.40 2 081.59 -12.17
    40 493.947 4 979.47 134.96* 3 917.45 -21.33 121.00 3 777.81 -24.13 147.00 4 037.81 -18.91 100.40 4 254.83 -14.55

    Table 3.  Comparison of results for perfectly rough footings

    当q＝0时，Martin(2004)[22]采用滑移线法计算的Quv值比本文低0.81%～23.21%，误差随φ的增大而增大。Bolton和Lau(1993)[16]采用滑移线法计算得到的Quv比本文高8.58%～442.43%，误差随φ的增大而减小。Chen(1975)[24]采用上限极限分析计算的Quv比本文高31.92%～234.21%，误差随φ的增大而减小。Terzaghi(1943)[3]采用极限平衡法计算，当φ≤30°时，其Quv比本文高8.95%～337.45%，误差随φ的增大而减小；当30°<φ≤40°时，比本文低2.92%～9.90%，误差随φ的增大而增大。注意这里q/γB值取10-9以避免浮点错误。

    当q＝20 kPa时，按Martin(2004)[22]、Bolton和Lau(1993)[16]、Chen(1975)[24]和Terzaghi(1943)[3]的方法计算得到的总竖向极限承载力Quv分别比本文低3.03%～21.59%、5.71%～22.75%、2.86%～14.94%及2.81%～18.55%，误差随φ的增大而增大。当q＝40 kPa时，分别比本文低3.77%～21.33%、0.87%～24.13%、4.29%～18.91%及0.72%～14.55%，误差随φ的增大而增大。通过比较可以看出，其它方法低估了完全粗糙基础的极限承载力，主要因为它们采用了一个更为尖锐的楔形基础。值得指出的是，虽然其它方法使用的Terzaghi方程在这里并不是严格适用，但由于该方程给出的结果偏于保守，因此Terzaghi方程在实际工程中的应用仍然是安全和有效的。

6　算例

  • 某一条形基础的参数B＝2 m，q1＝40 kPa，q2＝20 kPa，γ＝19 kN/m3，c＝15 kPa，φ＝25°，cw＝10 kPa及δ＝10°，分别求解第一和第二类问题的地基极限承载力。

    1)第一类问题：差分网格的β滑移线总数为n＝66，第一条β滑移线的结点数为m＝86，结点总数为9 966。优化方法采用黄金分割法，当一维搜索区间缩小到小于B×10-8时，迭代计算终止。计算结果如下：χ＝59.972°<90°，OA1的宽度b*＝0.580 m，总竖向极限承载力Quv(b*)＝1 941.150 kN，其中包括Quv1＝613.439 kN, Quv2＝1 327.711 kN，滑移线场及竖向极限承载力分布如图10(a)所示。

    Figure 10.  Calculation results

    2)第二类问题：其计算结果如下：OA1的宽度b*＝1.886 m，总竖向极限承载力Quv(b*)＝ 1 246.608 kN，其中包括Quv1＝1167.603 kN，Quv2＝79.005 kN，总水平极限承载力Quh(b*)＝ 239.811 kN，滑移线场及竖向极限承载力分布如图10(b)所示。由此可见，与第一类问题相比，塑性区的形状、大小差别较大，总竖向极限承载力降低了35.780%。

    3)工程上也可采用简化方法计算条形浅基础极限承载力，现以第一类问题为例说明其计算步骤，如下：

    i)取b＝B/2，q＝q1，计算η1＝1.771 174，η2＝0.897 530和η2/η1＝0.506 743，根据表1通过线性插值可确定竖向承载力系数Nv0＝47.190和Nv1＝68.235，进而可求得quv1(0)＝936.601 kPa和quv1(-b)＝1 336.465 kPa。

    ii)取b＝B/2，q＝q2，按照上述同样的方法可求得quv2(-B)＝669.267 kPa和quv2(-b)＝1 057.701 kPa。

    iii)如图10(c)所示，假定竖向极限承载力quv1和quv2分别呈线性分布，通过求这两条直线的交点可确定OA1的宽度b*＝0.646 m以及点O的竖向极限承载力quv(-b*)＝1 195.062 kPa，进一步可求得总竖向极限承载力Quv(b*)＝1 950.728 kN，比前面给出的滑移线解略高0.493%。

    4)采用简化方法同样可求解第二类问题，如图10(d)所示。计算结果如下：b*＝1.839 m，Quv(b*)＝ 1 254.689 kN，Quh(b*)＝241.236 kN，极限承载力近似解分别比相应的精确解大0.648%和0.594%。

7　结论

  • 本研究可以得出以下结论：

    1)根据基础与土之间的相对运动和相互作用，可将条形浅基础极限承载力问题分为两类；建立一个以总竖向极限承载力为目标函数的最小值模型，从而揭示地基极限承载力的内在力学本质，并提出了精确求解该问题的一般性方法。

    2)塑性破坏机构取决于极限承载力问题的类型和相关参数，可通过求解最优化问题而自动确定。经典的Prandtl机构并不代表无重土地基上完全光滑基础极限承载力问题的塑性破坏机构。

    3)工程上可采用本文提出的简化方法近似计算条形浅基础极限承载力，既简便易行又精确可靠。

    4)新承载力方程适用于q1＝q2＝q的第一类问题，而Terzaghi方程仅适用于同时满足q1＝q2＝q、式(15)及式(16)的第一类问题；Terzaghi方程是一个精确的理论方程，可由新承载力方程完全替代；求得承载力系数Nv、Nγ、Nc及Nq的理论精确解，其中Nv、Nγ随着φ、δ、η1及η2的增大而增大，而Nc、Nq随着φ、λ的增大而增大。

    5)对于完全光滑基础，本文方法得到的总竖向极限承载力与现有方法得到的一致；对于完全粗糙基础，两者之间的差异较大但不超过25%，而现有方法低估了极限承载力。本文理论解还有待与有限元法计算结果进行比较。

    6)为了便于本文研究成果在实际工程中应用，编制一本可供工程师使用的关于Nv0和Nv1的表格手册，以及进行各种实验室和现场的试验研究来验证，有望成为该课题今后研究的主要任务。

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