Application of Optimal Combined Prediction Model for Settlement of Foundation Under Preloading Treatment

最优组合预测模型(OCP模型)也叫最优加权法模型^[10,11]，其基本思想是基于某种准则，以无偏单项模型为基模型，并在特定约束条件下极小化目标函数S，获取目标函数S的基模型的加权权重系数，依此得到特定S组合模型，进行最优组合计算。

设y(t)为第t期的地基沉降观测值，设对于该实际观测值的预测问题，可以构造了m个单模型 (t)(j＝1，2，…，m)进行预测分析，为了弥补单一模型的局限性，上述m个预测模型可构成以下组合：

式中：q为m个模型的组合数；Y_q(t)为组合模型，假定其中各单一模型的权重向量W：

式中：w₁，w₂，…，w_m为各预测模型的加权值。

记Y(t)为组合模型在t时刻的预测值，组合模型的形式可定义为：

设某个单一模型的拟合残差为：

式中：t、n分别表示第t、n期。

若记e(t)为t时刻组合模型的预测误差，则有：

本文定义预测误差平方和S：

再设e_i为第i种单个预测模型的预测误差向量，e_i＝(e_i1，e_i2，…，e_in)^T，那么有：

构造残差矩阵 ，则：

本文采用误差平方和在最小二乘原理进行求解数学规划，对组合模型的最优权重求解。构造目标函数及其约束条件为：

若令R＝[1, 1, …, 1]^T，显然有：

对上式用拉格朗日乘子法求解^[10]，得：

不难得出最优权重向量为：

将(12)代入(8)目标函数最小值：

1)Compertz模型

Compertz模型(龚帕兹曲线模型)是由英国统计学家、数学家B.Gompertz提出的，它是一种成长曲线，其基本数学表达式如下^[17]：

式中：a，b和L为待定参数；y(t)为对应时间的预测值。该模型曾被文献^[4]用来预测高填方路基工后沉降预测。

2)Pearl模型(泊松曲线)^[2]

泊松曲线表达式为：

式中：y(t)为t时刻对应的预测值，t为时间；a，b和k为待定参数且为正，a无量纲，b的单位为时间的倒数，k的单位为与y(t)相对应的长度单位。可利用时间序列对上述三个未知参数进行求解，即可建立Pearl模型，进而可预测后期的y(t)值。

3)灰色模型GM(1，1)模型^[7,18]

GM(1，1)以(Gray Mode1)为核心，以灰色模块为基础，以微分拟合法建立模型。设原始累计沉降量-时间序列向量Y＝{y(0)，y(1)，…，y(n)}，对以上累计沉降量-时间序列向量Y，参考文献^[18]采用(1-AGO)法对Y做一次累减生成，得到的沉降增量-时间序列向量Y⁽⁰⁾，Y⁽⁰⁾＝{y⁽⁰⁾(1)，y⁽⁰⁾(2)，…，y⁽⁰⁾(n)}，其中：

式中： j＝1，2，…，n。

对上述沉降增量-时间序列Y⁽⁰⁾再采用一次(1-AGO)累加计算，生成得到Y⁽¹⁾时间序列Y⁽¹⁾＝{y⁽¹⁾(1)，y⁽¹⁾(2)，…，y⁽¹⁾(n)}，则有：

式中：k＝1，2，…，n。

建立Y⁽¹⁾的灰色GM(1，1)模型的白化微分方程：

式中：a，b为待定常数。

对Y⁽¹⁾按下式(19)做一次紧邻均值法^[6,18]计算，得到均值背景值序列向量Z⁽¹⁾，Z⁽¹⁾＝{z⁽¹⁾(1)，z⁽¹⁾(2)，…，z⁽¹⁾ (n)}，则有：

按最小二乘法求解方程(17)中a，b；则：

式(19)中有：

因此，白化形式微分方程的解为：

对得到的y⁽¹⁾(k＋1)作累减可得到预测数据：

由上述预测结果可以计算得到沉降预测值：

式中：k＝1，2，…，n。

对于在统计方法中，后验差分析法，多因素关联度分析法等^[19]常被众多学者用来评价和检验预测模型的计算精度，本文拟采用后验差分析法对OCP模型预测精度进行检验。

设e(t_i)为实测数据y(t_i)和预测数据 的残差，即：

后验差比C：

式中：S₁，S₂分别为原始数据和模型预测结果残差的均方差，其中：

本文通过计算后验差比值C，结合表1中精度标准^[19]对模型预测值的精度进行判定与分析。

根据表1可知，后验差比值C越小，模型预测精度越高。

珠三角地区某天然气热电冷联产项目(简称热电冷联供项目，下同)全厂区场内标高较低且淤泥及淤泥质土层深厚，场内软弱土层厚度介于15.0～25.0 m，软弱土层淤泥及淤泥质土层呈灰、深灰色，为饱和状态，呈流塑-软塑，含一定有机质成分，土层中局部夹有薄层粉细砂，且混少量的贝壳碎片。含水量介于48.9%～79.0%，垂直渗透系数kv达到10^-7 cm/s级，水平渗透系数kv达到10^-6 cm/s ～10^-7 cm/s，土层灵敏度介于4.6～6.9之间。由于土层形成过程中，沉积时间短，组成颗粒较细，土体结构相对疏松，岩土强度较低，土层具有高压缩性特征。为了消除厂区内的软土层的沉降，减小后期的工后沉降；另考虑到后期上部建(构)筑物较大部分桩基为PHC管桩，为降低后期桩基所受负摩阻力；基于上述面原因，有必要对厂区内的地基软弱土层进行加固处理，经分析较为经济合理的方式为抽真空＋堆载联合预压法处理。据设计资料，全区处理范围为分A1～A6共6个区，处理面积约27.94 hm²。其中A4区在2014年1月16日开始进行施工试抽真空，并于2014年3月23日该场地真空膜内的平均真空度达到85 kPa，随后开始进行上部堆载施工。至2014年4月16日(累计抽真空100 d)，上部堆载施工完毕，随后进入预压处理恒载期。表2列出的为热电冷联供项目工程A区沉降监测数据。

本文利用Compertz模型、Pearl模型、GM(1，1)模型对文中工程A区沉降监测数据(如表2所示)建立最优组合模型：

基于表2的实测数据，利用式(14)-(27)，使用Matlab7.5软件计算得到Compertaz模型、Pearl模型和GM(1，1)模型，其中有：

Compertaz模型：

Pearl模型：

GM(1，1)模型：

若考虑w₁，w₂，w₃为最优权重，根据式(1)-(13)利用Matlab7.5对模型进行求解，求得：

则最优组合模型(OPC模型)为：

基于式(28)-(32)，对各表2中所列日期相应地基沉降量通过基模型与OPC模型预测，计算出了热电冷联供项目A4区恒载期前期以及后期的沉降，同时作差值计算得出各模型预测值和实际观测值的相对误差，列于表2。

参照式(25)-(27)，利用表2中所列基模型与OPC模型的预测值、实际观测值以及相对误差，计算后验差比值C，得出G(1，1)模型、Pearl模型、Compertz模型、OPC模型的后验差比值C分别为0.086、0.087、0.075、0.066，按表1中精度标准，若后验差比值C<35×10^-2，则满足精度“好”的标准，显然各单一模型及OPC模型均达到了“好”的标准。从后验差比值C的值来看，OPC模型预测精度优于单一的G(1，1)模型、Pearl模型、Compertz模型。

另外为更好的突出OPC模型的预测精度，本文结合文中工程实测数据，对三点法、经验双曲线法的预测精度进行计算，如表3所示。

从后验差比值C的值来看，OPC模型预测精度优于三点法模型、经验双曲线法和图解法。

基于表2中热电冷联供项目预压地基处理阶段的实测沉降数据，结合文献资料^[2,19]中关于图解法(Asaoka法)、三点法及经验双曲线法计算得到的预压处理地基的最终固结沉降量，147 d和169 d时的预测沉降量、残余沉降量及147 d和169 d的地基土固结度。表4列出的是上述三种方法以及文中OPC模型对预压处理地基的最终沉降量、147 d和169 d时的预测沉降量、残余沉降量及147 d和169 d的预压地基土固结度的计算结果。分析表4可知，相对于图解法、三点法及经验双曲线法，本文建立的OPC模型计算得到的预压处理地基最终固结沉降量、预测沉降量和残余沉降量小于经验双曲线法计算值，而大于三点法和图解法的计算结果；另外，通过OPC模型间接计算得到的特定时间147 d和169 d时的预压地基土的固结度满足以下关系：经验双曲线法≦OPC模型≦三点法和图解法。

而众多实践和研究工作证明^[2,7,19]：采用经验双曲线预测计算预压地基的最终固结沉降量，结果在一定程度会偏大，而采用三点计算法、图解法预测则结果会偏小。因此，可以认为从理论上说预压处理地基最终固结沉降量、残余沉降量和预压地基土的固结度的实际值应介于经验双曲线和三点法、图解法推算结果之间，由此不难得出本文中最优组合模型(OPC模型)计算出预压处理地基土的固结度、地基最终固结沉降量和残余沉降量更贴近实际值。

1)G(1，1)模型、Pearl模型、Compertz模型以及最优组合模型均满足“好”的精度等级要求，且最优组合模型(OPC模型)预测精度优于单一预测模型。

2)本文构建的最优组合预测模型(OPC模型)，与众多学者所研究的经验双曲线法、图解法(Asaoka法)、三点计算法的预测与计算结果保持较强的一致性。相比后面三种常用方法，OPC模型预测沉降量、推算预压地基土的固结度和最终固结沉降量以及残余沉降量更接近实际值。OPC模型可作为预压处理地基最终沉降量、残余沉降量及预压处理地基土的固结度指标的计算方法，OPC模型的建立为分析和计算预压处理地基过程相关评价指标，给出了一种新的思路和方法。

3)在预压处理地基工程实际应用中，不论是理论计算，或是反演分析，还是各类预测方法均有其优点、适用范围，计算结果也在一定程度各有其片面性和局限性，笔者建议在建立预压地基处理沉降与固结度评价指标值时，针对不同情况，采用不同的方法进行分析与研究，分别进行地基沉降预测和固结度计算，能得出合理的评价指标值；或者也可采用文中的最优组合预测模型构建方法，在以上基础上，利用不同基模型构建不同基模型下的OPC模型，得出较优评价指标值。本文研究的OPC模型及模型构建方法可为在预压处理地基施工控制提供一定的指导作用。