Regularization Reconstruction Method for Temperature Distribution Measurement in Acoustic Tomography

AT技术基于测量的飞渡时间（Time of Flight，TOF），使用一个合适的算法重建了被测对象的温度场分布。为方便实际的应用，AT重建模型常可表达为^［7］：

式中：A是m×n维距离矩阵；y是m×1维声波TOF数据；x为n×1维声波传播速度的倒数；r是m×1维的测量噪声向量。一旦求出x后，可依据声速与温度的关系（c=γRT/M）求出温度分布，γ、R、M、T和c分别是气体定压热容和定容热容之比、气体常数、气体分子质量、气体介质温度和声波在气体介质中的传播速度。

方程（2）是一个病态问题，它的解是不稳定的。由于测量条件和环境的限制，输入数据（如TOF数据）中必定包含一定程度的噪声。为获得有意义的解，该方程常被转化为一个最优化问题的求解。Tikhonov正则化法是一个流行的反问题求解方法，已被广泛应用于不同的领域。根据该方法，方程（1）可转化为如下的最优化问题：

式中：D(x,y)代表解的精确性测度；R代表正则项；α>0是正则参数。

许多的方法能够用于设计解的精确性测度函数，如L₂范数、L₁范数等。为了提高估计的鲁棒性，本研究利用残差的L₁范数作为解的精确性测度，即

式中：||⋅||1代表L₁范数。

正则项的设计直接影响了解的质量。考虑到温度分布的光滑性，本研究采用加权L₂范数作为未知变量x的正则项，即

式中：W是一个加权矩阵，可依据问题的先验信息而相应设计。

根据方程（3）和（4），方程（2）可具体表达为：

方程（5）是包含了非光滑项的无约束最优化问题。因具有良好的数值性能、无需目标函数的梯度信息等优势，本文用Nelder-Mead单纯形算法求解该方程，更多的计算细节见文献［8］。

本研究提出的重建方法需要利用第一阶段求解的温度场数据去预测细化网格单元的温度分布。因具有学习速度快、泛化能力强等优点，本节用极限学习机（Extreme Learning Machine，ELM）预测细化网格单元的温度分布。

ELM在本质上是一个单隐层前馈神经网络（如图1），其主要的不同点在于隐层的权值和偏置被随机给定，网络的训练主要是求解输出层的权值^［9-12］。由于隐层权值和偏置被随机给定，输出层的权值能够被快速地求解。当前，ELM方法已被成功应用于诸多领域，如信号与图像处理、风速预测、故障诊断等。

Figure 1.  Single hidden layer feedforward neural network

根据图1，给定训练样本对(si,zi)，i=1,2,⋯,N，si=[si1,si2,⋯,sin]T对应于测量区域每个网格单元中心坐标，zi=[zi1,zi2,⋯,zim]T代表网格的温度数值，和激活函数g(x)的条件下，隐层输出可表达为方程以及隐层输出和输出层输出的数值联系可表达为方程（6）和（7），即

方程（7）可重写为如下的线性方程：

式中：

ELM的训练意味着快速、有效地求解方程（8）。为了改善ELM的性能和降低过拟合风险，根据Tikhonov正则法，方程（8）的求解可转化为如下的最优化问题：

方程（11）是一个L₁正则化问题，本文用正反分裂算法（Forward-Backward Splitting，FBS）求解该问题。FBS算法试图求解如下的最优化问题：

式中：J和H是两个已知函数。

在FBS算法中，未知变量u根据下式更新^［13-14］：

式中：ProxδλJ(⋅)算子定义为：

根据上述的讨论，用FBS求解方程（11）的计算程序可总结在算法1中。

1）算法1：FBS算法。

步骤1：初始化，设置算法参数，置k = 1；

步骤2：更新变量e^k+1：

e^k+1 = V ^k - δH^T（HV - Y）

步骤3：更新变量V ^k+1

步骤4：判断算法的收敛性。如果算法是收敛的，则执行步骤5，如不收敛，置k←k+1，返回步骤2。

步骤5：输出以上步骤的计算结果。

最终，根据上述的讨论与分析，ELM的训练的主要目标是得到输出权，其计算的流程可总结在算法2中。

2）算法2：ELM训练程序。

步骤1：给定训练样本。

步骤2：确定隐层单元数，随机给定隐层权值和偏置向量。

步骤3：用算法1解方程（11）获得输出权。

为了提高AT温度分布计算的重建精度，本文构建了一种两阶段正则化重建（Two-Stage Regularization Reconstruction，TSRR）方法。第一阶段，根据测量信息重建粗网格离散单元的温度分布；第二阶段，利用ELM预测温度场在细化的离散网格单元的分布情况。根据上述的讨论，TSRR算法对应的程序被总结在算法3中。

算法3：TSRR算法。

1）步骤1：将测量区域刨分为粗离散网格单元，用Nelder-Mead单纯形算法解方程（5）得到相应的离散单元上的温度分布。

2）步骤2：使用已知的训练数据样本（使用被测区域的网格单元中心坐标；来源于步骤1计算得到的温度值）和算法2训练ELM模型，预测细化网格单元的的温度分布。

本节用数值仿真方法评价TSRR算法的性能，其重建结果和标准Tikhonov正则法，ART方法和Landweber迭代法项比较。所有的仿真计算在MATLAB软件平台上进行。

本文仿真一个截面为20 m×20 m的正方形区域，按图2所示设置了16个声波收发器，当一个收发器作为发射器时，其它的收发器作为接收器去收集声学TOF数据。

Figure 2.  Acoustic sensor arrangement

本研究用平均相对误差评价重建精度，可表达为：

式中：η代表平均相对误差；Tjo和Tjr分别代表真实的温度分布和重建的温度分布。

为评估此算法的鲁棒性，在模拟的数据中增加了正态分布随机数，其可表达为：

式中：yc是真实TOF数据；yn是噪声扰动温度数据；ε是噪声标准偏差；rand是均值为0、方差为1的正态分布随机数。

本文选取三种温度分布进行数值实验，即

式中：T1、T2和T3分别代表单峰、双峰和三峰的温度分布。

在本节中，Tikhonov正则法的参数为0.01；ART方法的松弛因子为1，迭代步数为800；Landweber方法的松弛因子为1，迭代步数为800；在TSRR算法中，W是一个单位阵，ELM隐层神经元数目为1 500。此外，为了模拟真实的测量环境，在计算的TOF数据中添加正态分布随机数（均值为0，标准差为3.0×10^-5）检验算法的鲁棒性。图3是实际的温度分布模型，图4~图7分别是Tikhonov正则法、ART算法、Landweber迭代法和TSRR方法重建的温度分布。为了便于定量比较，表1展示的不同重建算法的平均相对误差。

Figure 3.  True temperature distribution

Figure 3.  True temperature distribution

Figure 3.  True temperature distribution

Figure 4.  Temperature distribution reconstructed by the standard Tikhonov regularization method

Figure 4.  Temperature distribution reconstructed by the standard Tikhonov regularization method

Figure 4.  Temperature distribution reconstructed by the standard Tikhonov regularization method

Figure 5.  Temperature distribution reconstructed by the algebraic reconstruction technique

Figure 5.  Temperature distribution reconstructed by the algebraic reconstruction technique

Figure 5.  Temperature distribution reconstructed by the algebraic reconstruction technique

Figure 6.  Temperature distribution reconstructed by the Landweber method

Figure 6.  Temperature distribution reconstructed by the Landweber method

Figure 6.  Temperature distribution reconstructed by the Landweber method

Figure 7.  Temperature distribution reconstructed by the TSRR method

Figure 7.  Temperature distribution reconstructed by the TSRR method

Figure 7.  Temperature distribution reconstructed by the TSRR method

标准Tikhonov正则法、ART算法、Landweber迭代法和TSRR方法重建的温度分布如图4~图8所示。从图中，我们发现标准Tikhonov正则法重建的温度分布与真实的温度分布相差较大，难以捕捉到温度分布的细节信息。相比于标准Tikhonov正则法而言，ART算法、Landweber算法和TSRR算法重建的温度分布更为接近真实的温度分布。

总的说来，在所有的算法中，本文提出的TSRR算法重建的温度最接近真实的温度分布，能够捕捉温度分布的细节信息。如此令人鼓舞的重建结果源自于三个方面：其一，TSRR算法有两个阶段，第一阶段将测量区域离散为一个粗网格，减少未知变量的数目；其二，TSRR算法用L₁范数作为解的精确性测度函数，提高了估计的鲁棒性；同时，Tikhonov正则化技巧确保数值解的稳定性并集成解的先验信息；其三，TSRR方法利用ELM方法预测细化网格的温度分布信息；研究表明，ELM方法具有快速训练、泛化能力强等优点，能够提高温度分布预测的精度。

表1是参与比较算法的重建温度分布的平均相对误差。在表中，标准Tikhonov正则法重建温度分布的平均相对误差最大，TSRR算法重建温度分布的平均相对误差最小。对于本文所仿真的温度分布，如图3（a）~图（c）所示，标准Tikhonov正则法重建温度分布的平均相对误差分别是1.52%、1.67%和6.88%，然而，TSRR算法重建温度分布的平均相对误差分别是0.83%、1.19%和3.28%。如此的结果证实了TSRR算法的可行性与有效性。

获取准确的温度分布信息对于设备运行安全性、经济性至关重要。因具有非侵入式传感、能用于大尺度温度分布测量等优点，AT方法被认为是一种有效的非接触式温度分布测量方法。本文提出了一个两阶段重建方法提高AT温度分布测量的精度，主要的研究结论可总结为如下：

1）提出了一种两阶段的重建算法提升了AT温度分布重建的精度。首先，将测量区域离散为粗网格单元，接着设置一个新目标函数将AT测温反问题转变为一个求最优解问题，减轻了反问题的病态特性；采用Nelder-Mead单纯形算法求解改目标泛函，获到该网格单元下的温度分布。第二阶段，利用ELM方法预测细化网格单元的温度分布信息。

2）通过构建基于Tikhonov正则法的目标函数，新算法不仅确保数值解的稳定性，而且融合了温度分布的先验信息。Nelder-Mead算法不要求目标函数的可微性，能够高效地求解本文构建的目标函数。ELM方法具有训练速度快、泛化能力高等优点。上述优势将有利于提高AT温度分布重建的质量。

3）数值仿真结果表明，本文提出的新算法能够提高温度分布重建质量和鲁棒性。就本文所仿真的单峰、双峰和三峰温度分布而言，新算法重建温度分布的平均相对误差分别是0.83%、1.19%和3.28%。该重建精度优于标准Tikhonov正则法、ART算法和Landweber迭代法，从而为AT温度分布测量提供了一种有效方法。