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小波分解的过程可以近似看作高通滤波器和低通滤波器的组合,示意图如图3(a)所示。其中,S为待处理的信号序列,A表示该信号的低频分量,D则表示该信号的高频分量。信号消噪的简化过程如图3(b)所示,cA和cD分别对应上述两部分信号的小波系数,下标数字则表示当前的分解层次。
具体计算过程如下所示。首先信号f(t)∈L2(R)可以按照以下关系展开:
$$ f(t) = \sum\limits_k {{d_{j,k}} \cdot {\varphi _{j,k}}(t)} + \sum\limits_k {{c_{j,k}} \cdot {\phi _{j,k}}(t)} $$ (1) 式中:
j ——预先设置的分解尺度;
φ(t)、Φ(t)——分解过程中的小波函数和尺度函数;
dj,k、cj,k ——分解尺度j所对应的小波系数和尺度系数。其递推关系式可表示为:
$$ \begin{gathered} {c_{j + 1,k}} = \sum\limits_m {{h_0} \cdot (m - 2k)} \cdot {c_{j,m}} \\ {d_{j + 1,k}} = \sum\limits_m {{h_1} \cdot (m - 2k)} \cdot {c_{j,m}} \\ \end{gathered} $$ (2) 式中:
h0(n)、h1(n)——展开系数,与分解尺度无关。固定计算式为:
$$ \begin{gathered} {h_0}(n) = \left\langle {\phi (t),{\phi _{ - 1,n}}(t)} \right\rangle \\ {h_1}(n) = \left\langle {\varphi (t),{\phi _{ - 1,n}}(t)} \right\rangle \\ \end{gathered} $$ (3) 对小波系数和尺度系数进行重组,成为新的小波分解结构。再运用逆变换对这些系数作重构处理,即可以复现为去除噪声干扰的信号。其递推关系式为:
$$ {c_{j - 1,m}} = \sum\limits_k {{h_0}(m - 2k) \cdot {c_{j,k}}} + \sum\limits_k {{h_1}(m - 2k) \cdot {d_{j,k}}} $$ (4) 为了防止消噪处理后含噪声信号的不连续邻域中可能会出现振荡现象,引入平移不变量小波消噪法。假设待处理信号为s(t)(0tn),其中t为时间,n为信号序列的长度。则经过循环平移的消噪法表达式为:
$$ \bar T(s(t),{S_h}) = \frac{1}{h} \cdot \sum {{S_{ - h}}(T({S_h} \cdot s(t)))} $$ (5) 式中:
h ——平移量,正整数且有0hn;
Sh ——信号序列循环平移h的算子,即Sh·s(t)为经过h循环平移后的信号;
T ——对信号进行阈值消噪处理。
为了检验重构信号中的噪声抑制效果,从而选取最佳重构参数,假设给定的待检验信号序列为{x(n),n=1,2,···,N},则该信号序列的自相关系数可由以下表达式计算得到:
$$ {\rho _k} = \frac{{\sum\limits_{n = 1}^{N - k} {\left( {{x_n} - {{\bar x}_N}} \right) \cdot \left( {{x_{n + k}} - {{\bar x}_N}} \right)} }}{{\sum\limits_{n = 1}^{N - k} {{{\left( {{x_n} - {{\bar x}_N}} \right)}^2}} }} $$ (6) $$ {\bar x_N} = \frac{1}{N} \cdot \sum\limits_{n = 1}^N {{x_n}} $$ (7) 式(6)中,{ρk, k=1,2,···,m}表示给定信号序列的自相关系数估计值;自由度参数m2N,通常取值为5~10。根据时间序列分析理论,若该序列为白噪声信号,则当N足够大时,近似服从于m维标准正态分布。进一步推导知χ2(m)=N·(ρ12+ρ22+···+ρm2)将会近似服从于m维χ2分布。换言之,若序列表现为白噪声的特征,也即含噪声信号的高频分量中仍然存在噪声干扰,则可以得到以下关系式:
$$ \rho _1^2 + \rho _2^2 + \cdots + \rho _m^2 = 0 $$ (8) 假设给定的显著性水平为a,根据自由度m查表得χ2分布的临界值λa,则检验统计量χ2必然符合以下关系式:
$$ {\chi ^{\text{2}}}\left( m \right) = N \cdot \left( {\rho _1^2 + \rho _2^2 + \cdots + \rho _m^2} \right) < {\lambda _\alpha } $$ (9) 反之,当检验统计量χ2>λa时,则表示该序列是相关序列。此时,含噪声信号中的高频分量均为有用信号,噪声干扰已被消除。结合上述原理,设计最优小波分解尺度的判断流程如图4所示。
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为了验证小波分解尺度选择算法的可行性,首先产生标准测试信号来模拟泄漏电流信号,表达式如下:
$$ {s_{\text{2}}}(t) = 100 \times \sum\limits_k {{A_k} \cdot \sin (2\pi {f_k} \cdot t)} $$ (10) 式中,k=1,3,5;A1=1 mA,A3=A5=0.03 mA。即包含3次、5次谐波分量的正弦波形。然后将高斯白噪声叠加于标准测试信号中,如图5所示。其中,干扰信号由噪声函数随机生成,同样取其均值为0,标准差为20,服从高斯分布。
首先,针对叠加高斯白噪声的标准测试信号,运用平移不变量小波变换进行消噪处理,部分结果如图6所示。在本次测试过程中,统一选择sym8作为小波变换的基函数,并依次取分解尺度j=1~9。从图中可以看出,当分解尺度j=5时,经过消噪处理后的测试信号波形与其有用信号部分最为接近。
取自由度m=5,显著性水平a=0.01,查表得2分布的临界值λa=15.086。在不同的分解尺度下,分别计算测试信号高频分量对应的小波系数的检验统计量。结果列于表1。从表中数据可以看出,当分解尺度j=5时,检验统计量大于临界值,应拒绝原假设,即是相关序列。这表示高频分量的小波系数均为有用信号,噪声干扰已被消除。信噪比R同样在该分解尺度下达到最大值,此时的消噪效果达到最优。
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 χ2 1.98 10.91 13.81 11.26 20.14 41.35 128.11 69.90 171.08 R 14.52 17.65 20.80 23.47 24.89 23.47 21.75 19.03 18.51 Table 1. Test statistics and signal-to-noise ratio
然后针对叠加高斯白噪声的泄漏电流原始信号,运用平移不变量小波变换进行消噪处理,部分结果如图7所示。此处同样选择sym8作为小波变换过程的基函数,并依次取分解尺度j=1~9。从图中可以看出,当j=5时,很好地消除了噪声干扰和高次谐波分量,且未过度消噪,较为符合泄漏电流有用信号的波形。
取和上述相同的自由度以及显著水平。在不同分解尺度下,分别计算高频分量对应的小波系数的检验统计量。当j=5时,检验统计量大于临界值。这表示高频分量的小波系数均为有用信号,噪声干扰已被消除,与图6中对波形的判断结果相符合。
Leakage Current Detection for Surge Arrester in Switchgear Based on Time-Frequency Analysis Method
doi: 10.16516/j.gedi.issn2095-8676.2022.04.019
- Received Date: 2021-12-22
- Rev Recd Date: 2022-02-18
- Available Online: 2022-12-25
- Publish Date: 2022-12-23
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Key words:
- leakage current detection /
- noise interference /
- optimized wavelet /
- time-frequency analysis method /
- anti-interference capability
Abstract:
Citation: | HUANG Hua, XIE Jingyuan, WANG Zhengling, SHEN Wei, ZHANG Weipeng. Leakage Current Detection for Surge Arrester in Switchgear Based on Time-Frequency Analysis Method[J]. SOUTHERN ENERGY CONSTRUCTION, 2022, 9(4): 150-158. doi: 10.16516/j.gedi.issn2095-8676.2022.04.019 |